Прямые и плоскости в пространстве

Сведения из теории

Чтобы успешно решать задачи по аналитической геометрии на взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве, нужно:

Плоскость в пространстве однозначно задаётся тремя принадлежащими ей точками M0, M1 и M2, которые не лежат на одной прямой (рис. 1).

Плоскость в пространстве

Рис 1. Плоскость в пространстве.

Эквивалентным образом плоскость может быть задана принадлежащей ей точкой M0 с координатами (x0; y0; z0) и двумя векторами: a = M0M1 = (x1 - x0; y1 - y0; z1 - z0) и b = M0M2 (x2 - x0; y2 - y0; z2 - z0)

Каноническое уравнение плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

Коэффициенты A, B и C при координатах x, y и z принадлежащих плоскости точек являются компонентами вектора n, перпендикулярного задаваемой уравнением плоскости, — нормального вектора (рис. 2).

Каноническое уравнение плоскости

Рис 2. Каноническое уравнение плоскости.

Зная координаты координаты точки M0, принадлежащей плоскости, и координаты двух лежащих в плоскости векторов a и b, можно получить каноническое уравнение этой плоскости. Для этого надо вычислить определитель:

(x - x0)(y - y0)(z - z0)
axayaz
bxbybz

и составить уравнение, приравняв нулю полученный результат.

Поскольку геометрическое место точек пространства, одновременно принадлежащих двум пересекающимся плоскостям, есть прямая линия, то система двух уравнений, описывающих не параллельные и не совпадающие плоскости, задаёт эту прямую (рис. 3):

{A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0}
Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Рис 3. Прямая L как линия пересечения двух плоскостей P1 и P2.

Как узнать, что плоскости не параллельны? Очень просто: их нормальные векторы не должны быть коллинеарны. С математической точки зрения, для того, чтобы плоскости пересекались, не должно выполняться условие:

A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2

Множество плоскостей, содержащих одну и ту же прямую, образуют пучок плоскостей. Если плоскость входит в пучок, то её уравнение должно удовлетворять условию:

u (A1x + B1y + C1z + D1) + v (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

где хотя бы один из коэффициентов u или v не равен нулю.

Другой способ задания прямой — через принадлежащую ей точку M0 и направляющий вектор r (рис. 4):

x - x0
rx
=
y - y0
ry
=
z - z0
rz
Задание прямой с помощью точки и напраправляющего вектора

Рис 4. Задание прямой L с помощью точки M0 и напраправляющего вектора r.

Отношения, составляющие последнее равенство, вообще говоря равны какому-то конкретному значению t. Поэтому можно записать параметрическое уравнение прямой в пространстве:

x - x0
rx
=
y - y0
ry
=
z - z0
rz
= t
{ x = x0 + t rx; y = y0 + t ry; z = z0 + t rz }

Решение задачи

Продемонстрируем использование теоретических сведений для решения задачи. Пусть дана точка M1 (1, 3, -1) и прямая L, заданная уравнением:

L:
x - 2
0
=
4y + 8
12
=
z + 3
5

Требуется найти уравнение плоскости в которой лежат точка M и прямая L.

Сразу бросается в глаза ноль в знаменателе первой дроби уравнения прямой. Известно, что делить на ноль нельзя. Однако в аналитической геометрии эта запись носит символический характер — в знаменателях дробей уравнения прямой записываются компоненты её направляющего вектора, а наличие нулевых компонентов у вектора допустимо. В приведенном примере это означает, что направляющий вектор прямой параллелен координатной плоскости YOZ.

Для нахождения уравнения плоскости в пространстве нужно знать принадлежащую ей точку и два не коллинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Точку возьмём прямо из условия задачи — M1. Из записи уравнения прямой можно дополнительно извлечь координаты точки M0, принадлежащей этой прямой, и направляющего вектора r (см. общий вид уравнения прямой выше в теоретических сведениях): M0 (2; -2; -3) и r (0; 3; 5). Прямая L принадлежит плоскости по условию задачи, поэтому вектор r тоже будет лежать в нужной плоскости, точно так же, как и точка M0, принадлежащая прямой.

Почему вторая координата точки M0 равна (-2), а не (-8)? Потому что коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении прямой должны быть равны единице, а в приведенном примере коэффициент при y равен четырём. Чтобы привести центральную дробь в соответствие с общим уравнением прямой, нужно её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число — четыре. В результате такого преобразования уравнение прямой примет вид:

L:
x - 2
0
=
y + 2
3
=
z + 3
5

По той же причине вторая координата вектора r равна 3, а не 12.

Координаты точки M0 должны быть такими, чтобы при их подстановке в уравнение прямой вместо соответствующих переменных, числители обращались в ноль. Это правило поможет не запутаться со знаками " + " и " - " координат точки M0.

На текущий момент нам известны две точки M0 и M1, принадлежащие искомой плоскости, и лежащий в этой плоскости вектор r. А для нахождения уравнения плоскости требуются точка и два вектора. Второй вектор m можно определить, приняв за его начало точку M0, а конец — точку M1:

m = (1 - 2; 3 - (-2); (-1) - (-3)) = (-1; 5; 2)

Составим определитель DET из точки M1 и векторов r и m:

(x - 1)(y - 3)(z + 1)
035
-152

вычислим его разложением по первой строке:

DET = (x - 1)
35
52
- (y - 3)
05
-12
+ (z + 1)
05
-12
=
= (x - 1)(6 - 25) - (y - 3)(0 + 5) + (z + 1)(0 + 3) =
= -19(x - 1) - 5(y - 3) + 3(z + 1) = -19x + 19 - 5y + 15 + 3z + 3 =
= -19x - 5y + 3z + 37.

и приравняем нулю:

-19x - 5y + 3z + 37 = 0
19x + 5y - 3z - 37 = 0

Проверка полученного решения

Итак, мы нашли уравнение плоскости. Но как быть, если оно не совпадает с ответом, приведенным в задачнике? Или, предположим, Петя Иванов тоже решил эту задачу, но получил другой ответ:

14x + 4y - 3z - 29 = 0

Кто из нас прав? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проверить уравнения на соответствие условию задачи. Если точка принадлежит плоскости, то подстановка её координат в уравнение должна превращать его в верное равенство. Итак, проверим точку M1 (1;3;-1) сначала для нашего уравнения:

19 • 1 + 5 • 3 - 3 • (-1) - 37 = 19 + 15 + 3 - 37 = 37 - 37 = 0

Нашему уравнению точка M1 удовлетворяет. А уравнению Пети Иванова?

14 • 1 + 4 • 3 - 3 • (-1) - 29 = 14 + 12 + 3 - 29 = 29 - 29 = 0

Тоже удовлетворяет! Придётся проверить точку M0 (2; -2; -3). Снова сначала для нашего уравнения:

19 • 2 + 5 • (-2) - 3 • (-3) - 37 = 38 - 10 + 9 - 37 = 47 - 47 = 0

С нашим уравнением всё в порядке. А что по поводу уравнения Пети Иванова?

14 • 2 + 4 • (-2) - 3 • (-3) - 29 = 28 - 8 + 9 - 29 = 37 - 37 = 0

Получили тоже верное равенство! Неужели два разных уравнения задают одну и ту же плоскость?! Вспомним, что для однозначного задания плоскости требуется указать как минимум три принадлежащие ей точки, а мы проверили только две. Но где взять третью точку?

Самое время вспомнить о том, что у нас есть два вектора: r и m, которые лежат в плоскости. Тогда для получения третьей точки достаточно "шагнуть" от любой имеющейся точки в направлении вектора. Например, возьмём точку M0 и сместимся на единицу в направлении вектора r. Полученная таким образом точка M2 (2;1;2) будет лежать на прямой L. Выполним проверку для этой точки:

19 • 2 + 5 • 1 - 3 • 2 - 37 = 38 + 5 - 6 - 37 = 43 - 43 = 0

Для нашего уравнения по-прежнему получили верное равенство. Проверяем уравнение Пети Иванова:

14 • 2 + 4 • 1 - 3 • 2 - 29 = 28 + 4 - 6 - 29 = 32 - 35 = -3

А вот и расхождение. Значит, из двух уравнений верным решением задачи является именно наше.

Использованные материалы

  1. Лекции Бояршинова Б. С. по аналитической геометрии на сайте НОУ ИНТУИТ (https://www.intuit.ru/).
  2. А. П. Веселов, Е. В. Троицкий. Лекции по аналитической геометрии.

Лицензионные электронные книги
Магазин книг в электронном виде

... и традиционные книги (а также канцтовары, наборы для творчества, подарки и сувениры
Белорусский книжный магазин

Изображения для свободного использования
Бесплатные изображения

Надёжный белорусский хостинг
Белорусский хостинг

Яндекс.Метрика